Contoh Kriteria Uji Akar Unit

 

Artikel Sebelumnya🚀

Kriteria Uji Akar Unit

Yuhka Sundaya

Departemen Ekonomi Pembangunan Unisba

Kenyataannya, lag bisa lebih dari 1, dan untuk menentukan banyaknya lag yang optimal, setelah dilakukan ADF test, selanjutnya dilakukan uji akar unit. Suatu data runtun waktu dikatakan integrated of order k atau ditulis dengan I(k), jika setelah didiferensiasi sebanyak k kali menjadi seri yang stasioner. Berbagai seri I(1), karena seri tersebut menjadi stasioner setelah dilakukan diferensiasi satu kali. Jika seri x_t dan diferensiasi pertamanya Dx_t tidak stasioner, tetapi diferensiasi kedua Dx_t² = Dx_t - Dx_t-1 adalah stasioner, maka dikatakan I(2). Beberapa variabel ekonomi menunjukkan suatu seri yang stasioner tanpa perlu melakukan diferensiasi, yang disebut dengan I(0). Namun demikian, suatu seri mungkin saja tidak pernah menjadi stasioner, walaupun telah dilakukan diferensiasi beberapa kali. Suatu seri semacam ini dikatakan non-integrated.

Suatu shocks yang terjadi pada seri data stasioner bersifat temporer sepanjang waktu, dan akan segera menghilang dan kembali pada keseimbangan jangka panjangnya. Oleh karena itu, peramalan jangka panjang terhadap pergerakan seri stasioner cenderung menuju pada arah unconditional mean. Menurut Enders (2004), suatu seri stasioner mempunyasi sifat : (1) adanya gejala mean reversion, dimana nilainya berfluktuasi di sekitar mean jangka panjang yang konstan, (2) mempunyai variance yang terhingga (finite) dan time-invariant,  (3) mempunyai korelogram yang cenderung menurun dengan bertambahnya lag.

Pengujian unit root menggunakan Akaike Information Criterion (AIC) dan Schwarz Bayesian Criterion (SBC). Pengujian dilakukan pada tingkat (level) dan perbedaan (difference) pada variabel. Maksud pengujian ini adalah untuk order integrasi dari variabel.

Uji diagnostik ini dimaksudkan untuk mengetahui kestasioneran suatu variabel dengan menggunakan Augmented Dickey Fuller Test (ADF). Kestasioneran seri data variabel pinjaman investasi dan suku bunga diidentifikasi dengan cara membandingkan nilai ADF statistic setiap variabel dengan nilai kritis t* pada tingkat signifikansi sebesar 5 persen. Nilai kritis t* pada tingkat signifikansi sebesar 5 persen dengan jumlah seri sampel waktu sebanyak 156 bulan (2003M1 – 2013M12) diidentifikasi sebesar -3.4478 (tersaji pada Lampiran 2). Hipotesis yang digunakan dalam uji stasioneritas data ini adalah,

H_o :    seri data tidak stasioner

H_i :    seri data stasioner

H_o diterima bila ADF statistic lebih besar dari t* (ADF stat > t*), atau H_i ditolak, yang menunjukkan bahwa suatu seri data memiliki sifat tidak stasioner. Sebaliknya, H_o ditolak bila ADF statistic lebih kecil dari t*, atau H_i diterima, yang menunjukkan bahwa suatu seri data memiliki sifat stasioner. Hasil pengujian selengkapnya disajikan pada lampiran sebagai berikut :

ADF Test

Unit root tests for variable I

The Dickey-Fuller regressions include an intercept but not a trend

*******************************************************************************

119 observations used in the estimation of all ADF regressions.

Sample period from 2003M1 to 2013M12

*******************************************************************************

Test Statistic LL AIC SBC HQC

DF     5.3006 -1180.9 -1182.9 -1185.7 -1184.1

ADF(1) 5.0206 -1180.7 -1183.7 -1187.8 -1185.4

ADF(2) 7.8034 -1164.3 -1168.3 -1173.9 -1170.6

ADF(3) 5.1315 -1161.9 -1166.9 -1173.9 -1169.8

ADF(4) 5.4143 -1160.4 -1166.4 -1174.7 -1169.8

ADF(5) 5.3452 -1159.7 -1166.7 -1176.4 -1170.6

ADF(6) 5.7385 -1157.6 -1165.6 -1176.7 -1170.1

ADF(7) 6.0501 -1155.6 -1164.6 -1177.1 -1169.6

ADF(8) 4.8946 -1155.2 -1165.2 -1179.1 -1170.9

ADF(9) 4.3186 -1155.2 -1166.2 -1181.4 -1172.4

ADF(10) 3.9301 -1155.1 -1167.1 -1183.8 -1173.9

ADF(11) 3.5914 -1155.1 -1168.1 -1186.1 -1175.4

ADF(12) 2.7426 -1151.6 -1165.6 -1185.0 -1173.5

*******************************************************************************

95% critical value for the augmented Dickey-Fuller statistic = -2.8857

LL = Maximized log-likelihood AIC = Akaike Information Criterion

SBC = Schwarz Bayesian Criterion HQC = Hannan-Quinn Criterion



Unit root tests for variable I

The Dickey-Fuller regressions include an intercept and a linear trend

*******************************************************************************

119 observations used in the estimation of all ADF regressions.

Sample period from 2003M1 to 2013M12

*******************************************************************************

Test Statistic LL AIC SBC HQC

DF 1.2494 -1180.8 -1183.8 -1188.0 -1185.5

ADF(1) 1.3639 -1180.6 -1184.6 -1190.1 -1186.8

ADF(2) 2.9053 -1164.3 -1169.3 -1176.3 -1172.1

ADF(3) 2.1058 -1161.9 -1167.9 -1176.3 -1171.3

ADF(4) 2.5353 -1160.4 -1167.4 -1177.1 -1171.3

ADF(5) 2.7597 -1159.7 -1167.7 -1178.8 -1172.2

ADF(6) 3.2925 -1157.6 -1166.6 -1179.1 -1171.6

ADF(7) 3.7967 -1155.5 -1165.5 -1179.4 -1171.1

ADF(8) 3.2566 -1155.2 -1166.2 -1181.4 -1172.4

ADF(9) 2.9504 -1155.1 -1167.1 -1183.8 -1173.9

ADF(10) 2.7448 -1155.1 -1168.1 -1186.1 -1175.4

ADF(11) 2.5185 -1155.0 -1169.0 -1188.5 -1176.9

ADF(12) 1.8259 -1151.6 -1166.6 -1187.4 -1175.0

*******************************************************************************

95% critical value for the augmented Dickey-Fuller statistic = -3.4478

LL = Maximized log-likelihood AIC = Akaike Information Criterion

SBC = Schwarz Bayesian Criterion HQC = Hannan-Quinn Criterion

Unit root tests for variable R

The Dickey-Fuller regressions include an intercept but not a trend

*******************************************************************************

119 observations used in the estimation of all ADF regressions.

Sample period from 2003M1 to 2013M12

*******************************************************************************

Test Statistic LL AIC SBC HQC

DF -1.7796 10.2762 8.2762 5.4971 7.1477

ADF(1) -1.8036 13.0914 10.0914 5.9227 8.3986

ADF(2) -1.8415 15.9849 11.9849 6.4266 9.7278

ADF(3) -1.9405 17.7776 12.7776 5.8298 9.9563

ADF(4) -2.0058 18.3117 12.3117 3.9743 8.9261

ADF(5) -1.9677 18.3535 11.3535 1.6266 7.4037

ADF(6) -1.9478 18.3548 10.3548 -.76168 5.8408

ADF(7) -1.9141 18.3851 9.3851 -3.1210 4.3068

ADF(8) -1.8605 18.5300 8.5300 -5.3657 2.8874

ADF(9) -1.8799 18.6417 7.6417 -7.6435 1.4349

ADF(10) -1.8450 18.6583 6.6583 -10.0164 -.11275

ADF(11) -1.7085 20.5835 7.5835 -10.4808 .24820

ADF(12) -1.7001 20.5836 6.5836 -12.8703 -1.3160

*******************************************************************************

95% critical value for the augmented Dickey-Fuller statistic = -2.8857

LL = Maximized log-likelihood AIC = Akaike Information Criterion

SBC = Schwarz Bayesian Criterion HQC = Hannan-Quinn Criterion


Unit root tests for variable R

The Dickey-Fuller regressions include an intercept and a linear trend

*******************************************************************************

119 observations used in the estimation of all ADF regressions.

Sample period from 2003M1 to 2013M12

*******************************************************************************

Test Statistic LL AIC SBC HQC

DF -2.0819 11.2890 8.2890 4.1203 6.5962

ADF(1) -2.4031 14.6727 10.6727 5.1144 8.4156

ADF(2) -2.8220 18.4781 13.4781 6.5303 10.6568

ADF(3) -3.2953 21.4579 15.4579 7.1205 12.0724

ADF(4) -3.6413 23.0222 16.0222 6.2953 12.0724

ADF(5) -3.6349 23.1681 15.1681 4.0516 10.6541

ADF(6) -3.7051 23.5023 14.5023 1.9963 9.4240

ADF(7) -3.7219 23.7122 13.7122 -.18341 8.0696

ADF(8) -3.6538 23.7766 12.7766 -2.5086 6.5698

ADF(9) -3.9011 24.8034 12.8034 -3.8714 6.0323

ADF(10) -3.9693 25.2087 12.2087 -5.8556 4.8733

ADF(11) -3.4837 25.6885 11.6885 -7.7654 3.7889

ADF(12) -3.6342 26.2954 11.2954 -9.5480 2.8315

*******************************************************************************

95% critical value for the augmented Dickey-Fuller statistic = -3.4478

LL = Maximized log-likelihood AIC = Akaike Information Criterion

SBC = Schwarz Bayesian Criterion HQC = Hannan-Quinn Criterion

 

Contoh Spesifikasi Error Correction Model (ECM)

Spesifikasi Error Correction Model

Yuhka Sundaya

Departemen Ekonomi Pembangunan Unisba

ECM adalah sistem dinamik dengan ciri menampilkan hubungan jangka pendek dan jangka panjang. Model ECM merupakan salah satu model time series yang secara langsung mengestimasi kepekaan variabel dependen terhadap perubahan pada variabel independennya.

Model ekonometrika awal disajikan pada persamaan (4). Dimana, mengacu pada kerangka pemikiran, besaran pinjaman investasi riil (IP) dijelaskan oleh rasio suku bunga-inflasi aktual (RP), jumlah uang beredar riil (MP) dan deviasi inflasi (PTF). Di bawah persamaan (4) disajikan hipotesisnya, dimana besaran pinjaman investasi riil berhubungan negatif dengan perubahan tingkat suku bunga, sedangkan pengaruh jumlah uang beredar riil dan deviasi inflasi diduga berpengaruh positif terhadap perubahan pinjaman investasi riil. Pengaruh dari inflation targetting framework terekam pada variabel deviasi inflasi tersebut.

IP_t = a₀ + a₁RP_t + a₂ MP_t + a₃ PTF_t + U_t..................................................           (4)

                             a₁ < 0, a₂ dan > 0

dimana :

IP           =   Pinjaman investasi riil bulan ke-t (juta rupiah)

RP          =   Rasio suku bunga terhadap inflasi aktual bulan ke-t (persen)

MP         =   Jumlah uang beredar riil bulan ke-t (persen)

PTF        =   Deviasi inflasi aktual dengan inflasi target pada bulan ke-t (persen)

U            =   Error term

a₀            =   Konstanta (pinjaman investasi ketika R = 0)

a₁ s.d a₃  =   Parameter dugaan

Terdapat tantangan dalam menggunakan data time series atau runtun waktu (Gujarati (2004). Penggunaan data time series melibatkan pengujian terhadap sifat data, apakah stasioner atau tidak. Data time series yang bersifat stasioner adalah data dimana mean atau rata-rata dan varian suatu variabel tidak berubah secara sistematis dari waktu ke waktu. Apabila sifat data ini tidak diidentifikasi terlebih dahulu, maka dikhawatirkan hasil estimasi atau koefisien regresinya adalah spurious atau semu dan nonsense atau tidak masuk akal.

Pengujian stasioneritas data dilakukan untuk menentukan atau mempertimbangkan spesifikasi model dan jenis teknik estimasi atau pendugaan yang tepat, sebelumnya disajikan karakteristik data pinjaman investasi, tingkat suku bunga, jumlah uang beredar, dan deviasi inflasi untuk memahami apakah kedua data tersebut stationer atau tidak. Kedua sifat tersebut, selanjutnya akan menentukan pilihan model dan teknik estimasinya.

Uji Stasioneritas Data

Langkah pertama yang dilakukan dalam proses pengolahan data adalah memeriksa kondisi stasionaritasnya, melalui unit root test. Untuk keperluan ini digunakan augmented Dickey-Fuller (ADF). Bagian ini menyajikan teori ekonometrikanya, dan hasi pengujiannya disajikan pada bagian awal bab pembahasan. Mengacu pada teori ekonometrika, nenurut Enders (1995), perlunya tes ini karena inferensia ekonometrika biasa seperti ordinary least square (OLS) dan ECM hanya berlaku untuk data yang bersifat stasioner. Sehingga apabila hasil pengujian stasionaritas menunjukkan bahwa seri data suatu variabel tidak stasioner, maka harus dilihat perbedaan tingkat pertamanya (first difference). Bila tingkat pertama menunjukkan kondisi belum stasioner juga, maka dilanjutkan dengan melihat perbedaan tingkat kedua, dan seterusnya sampai diperoleh kondisi yang stasioner. Pada akhirnya, proses ini akan menghasilkan tingkat atau order integrasi dari variabel tersebut.

Suatu data runtun waktu dikatakan stasioner jika mean (m), variance (σ²_y) dan covariance (g_s) bersifat terhingga (finite). Secara statistic, variabel y_t dikatakan stasioner bila memenuhi kondisi sebagai berikut (Enders, 1995) :

E(y_t) = E(y_t-s) = m            ............................................................................            (5a)

E((y_t - m)² = E[(y_t-s - m)²] = σ²_{y..........................................................................................}    (5b)

E[(y_t - m)(y_t-s - m)] = E[(y_t-s - m)(y_t-j-s - m) = g_s     .................................                 (5c)

dimana, m, σ²_y dan g_s adalah konstan.

Analisa stasioneritas pada persamaan autoregressive 1 atau AR(1) ditunjukkan pada persamaan (6).

y_t = a₀ + a₁ y_t-1 + e_t......................................................................................           (6)

dimana e_t adalah white noise dan i.i.d (identically, independently, distributive). Kondisi intertemporalnya diekspresikan pada persamaan (7).

dengan nilai harapannya (expected value) adalah

Nilai harapan pada periode s adalah

Jika persamaan (3.8) dan (3.9) dibandingkan, maka kedua mean adalah time independent. Karena E_yt tidak sama dengan E_yt+s, maka urutannya tidak dapat stasioner. Namun demikian, bila t besar maka kita dapat mencari limit y_t pada persamaan (3.7). Jika |a₁|< 1, maka (a₁)^ty₀ akan cenderung mengarah ke nol. Karena t menjadi bear tiak terhingga dan jumlah mengarah ke a₀/(1 – a₁). Dengan demikian, jika t menuju tak hingga (t®¥) dan |a₁|< 1, maka :

dan nilai harapan menjadi

Dengan demikian, nilai mean dari y_t adalah terhingga (finite) dan independen terhadap waktu, sehingga E(y_t) = E(y_t-s) = m untuk semua t. Nilai variancenya diperoleh dari :

E(y_t - m)² = E[(e_t + a₁ e_t-1 + (a₁)² e_t-2 + … )²]..............................................     (10a)

              = σ²[(1 + (a₁)² + (a₁)⁴ + … ] = σ²/[1 - (a₁)²]................................       (10b)

Persamaan (10b) menunjukkan bahwa variance terhingga (finite) dan time independent. Nilai covariance juga finite dan time independent, seperti ditampilkan pada persamaan (11).

E[(y_t - m)(y_t-s - m)] = E{[(e_t + a₁ e_t-1 + (a₁)² e_t-2 + … ]*

                               [e_t-s + (a₁)² e_t-s-1 + (a₁)² e_t-s-2 + …]}

                           = σ²(a₁)^s[1 + (a₁)² + (a₁)⁴ + … ]

                           = σ²(a₁)^s[1 + (a₁)²]...........................................................       (11)

Mengestimasi model ekonometrika secara langsung dengan kondisi data yang tidak stasioner, menurut Thomas (1997) dapat menghasilkan regresi dan masalah korelasi yang semu (spurious regression and correlation). Model ECM merupakan salah satu alternatif model yang dapat mengantisipasi data yang bersifat tidak stasioner.

Spesifikasi ECM dari Persamaan 4

Asumsinya, diperlukan waktu 1 bulan untuk mencapai keseimbangan pinjaman investasi, sehingga model ECMnya diekspresikan pada persamaan (12). Subscrip “t” pada persamaan tersebut menunjukkan indikator waktu yang secara umum merepresentasikan periode waktu sebelum dan setelah kebijakan ITF diterapkan sebagaimana dijelaskan pada persamaan (1) sebelumnya. Definisi simbol variabel pada setiap persamaan konsisten dengan keterangan pada persamaan (4).

Selanjutnya adalah melakukan transformasi agar data menjadi stasioner. Secara teknis, tahap pertama adalah mengurangi sisi kiri dan kanan persamaan (2) dengan variabel IP_t-1, sehingga diperoleh persamaan sebagaimana ditunjukkan pada persamaan (13).

Berikutnya, dilakukan penambahan dan pengurangan sisi kanan persamaan (13b) dengan a₁ RP_t-1, a₄ MP_t-1, dan a₆ PTF_t-1­, sehingga diperoleh persamaan (14).

Pada persamaan (14), selanjutnya diperoleh informasi parameter sebagai berikut :

a₁ adalah elastisitas pinjaman investasi riil terhadap rasio suku bunga terhadap inflasi dalam jangka pendek.

a₁ + a₂ adalah elastisitas pinjaman investasi riil terhadap rasio suku bunga terhadap inflasi dalam jangka panjang.

 a₃ adalah elastisitas pinjaman investasi riil terhadap jumlah uang beredar riil dalam jangka pendek.

a₃ + a₄ adalah elastisitas pinjaman investasi riil terhadap jumlah uang beredar riil dalam jangka panjang.

a₅ adalah elastisitas pinjaman investasi terhadap deviasi inflasi dalam jangka pendek.

a₅ + a₆ adalah elastisitas pinjaman investasi terhadap deviasi inflasi dalam jangka panjang.

1 – a₇ adalah target atau rencana pinjaman investasi yang tercapai.

Contoh aplikasi uji akar unit 🚀

Referensi

Enders, Walter. 2004. Applied Econometric Time Series. John Wiley & Sons. Inc. Second Edition. United States Of America.

Gujarati, D. Basic Econometrics. The McGraw−Hill Companies. Fourth Edition. 2004.

Thomas, R.L. 1998. Modern Econometrics : An Intoduction. Addison-Wesley. Harlow, England.