DISTRIBUSI PELUANG
Catatan Pribadi | Yuhka SundayaPengetahuan dasar mengenai peluang dan statistic inferensial adalah prasyarat untuk mempelajari ekonometrika. Bab ini menyajikan pengetahuan tersebut. Pada bab ini kami menganggap bahwa pembaca telah memahami pengetahuan mengenai peluang dan distribusi peluang. Bagaimanapun, kami mengulas dan menekankan konsep khusus yang akan digunakan pada kajian ekonometrika seterusnya.
Variabel Stokastik dan Distribusi Peluang
Pertimbangkan
sebuah percobaan sederhana mengenai dadu enam sisi. Percobaan dilakukan dengan
melemparkan dua dadu. Karena itu akan memunculkan 36 kemungkinan hasil. Hasil
percobaaanya dicatat pada Tabel 2.1.
(1,1)
2 (2,1) 3 (3,1) 4 (4,1) 5 (5,1) 6 (6,1) 7
(1,2)
3 (2,2) 4 (3,2) 5 (4,2) 6 (5,2) 7 (6,2) 8
(1,3)
4 (2,3) 5 (3,3) 6 (4,3) 7 (5,3) 8 (6,3) 9
(1,4)
5 (2,4) 6 (3,4) 7 (4,4) 8 (5,4) 9 (6,4)
10
(1,5)
6 (2,5) 7 (3,5) 8 (4,5) 9 (5,5)
10 (6,5) 11
(1,6)
7 (2,6) 8 (3,6) 9 (4,6)
10 (5,6) 11 (6,6) 12
Mencermati hasil percobaan tersebut, nampak bahwa masing-masing pasangan angka dadu akan memiliki peluang sebesar 1/36 dari kejadian pada setiap percobaan.
Sekarang kita definisikan variable
X, sama dengan jumlah titik yang diamati pada setiap lemparan untuk setiap percobaan
tunggal dari eksperimen. X terlihat akan mengalami perubahan dari satu
percobaan ke percobaan yang lain, dan nilai yang memungkinkannya ditunjukkan
pada sisi kanan “(..) dari 36 kemungkinan hasil dalam Tabel 2.1. Nilai X ini
tersebar dari 2 (ganda 1) hingga 12 (ganda 6).
X adalah contoh variable acak
atau atau variable stokastik. Variabel stokastik adalah sebuah variable
yang mana nilainya ditentukan oleh mekanisme
percobaan/untung-untungan/kesempatan. Dalam kasus ini suatu kesempatannya sebanyak 6 sisi dadu.
Variabel X berciri juga sebagai variable diskrit, dimana nilainya
tersebar dalam interval 2 hingga 12. Sebagai contoh X tidak dapat bernilai 3.77
atu 8.5.
Sekarang kita turunkan distribusi
peluang untuk X. Distribusi peluang ini sederhananya mencakup susunan nilai
yang dapat diperoleh oleh X, bersamaan
dengan peluang yang terkait
dengan setiap nilai X. Sebagai contoh, untuk memperoleh nilai X = 4, kita
mengamati bahwa akan terdapat 3 pasang dadu yang menghasilkan angka 4 dari 36
hasil yang tersedia [yaitu (2,2), (3,1), (1,3)]. Karena itu, peluang X = 4 sama dengan 3/36. Secara
statistik masalah ini dinyatakan dengan Pr(X = 4) = 3/36 atau p(4) =
3/36.
Tabel
2.2 menampilkan distribusi peluang untuk X secara berurutan dari 2 hingga 12. Perlu
diingat bahwa jumlah peluang dari suatu distribusi peluang akan selalu sama
dengan 1 (satu). Yaitu Sp(x) = 1.
|
x |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
p(x) |
1/36 |
2/36 |
3/36 |
4/36 |
5/36 |
6/36 |
5/36 |
4/36 |
3/36 |
2/36 |
1/36 |
Latihan
Sebuah koin diapungkan 4 kali. Susun elemen dari ruang sampel dari percobaan tersebut. Jika X adalah angka kepala yang diperoleh pada sebuah percobaan ini, temukan distribusi peluang X.Jawaban :
Tabel. Ruang Sampel
(H,T)
Distribusi Peluang
Rata-rata distribusi peluang,
m = E(X) = åXp(X)
Jika dilakukan percobaan sesering mungkin, maka
akan mengarah pada X2, sehingga,
E(X2) = åX2p(X) ¹ [E(X2)]
Karena itu harus lebih teliti di dalam
memanipulasi nilai harapkan (expected
value). Teknik di atas selanjutnya dapat diaplikasikan pada beragam fungsi,
misal :
\ E(X3) = åX3p(X),
\ E[(X + 4)5] = å[(X + 4)5]p(X),
\ E(1/X) = å(1/X)p(X)
Dalam kasus yang lebih umum,
E[f(X)] = å f(X) p(X)
Variasi Distribusi Peluang (VDP)
Konsep VDP
E[(X - m)2] = å (X - m)2 p(X) = var(X) = s2
dimana,
m = å X p(X)
Varian adalah ukuran rata-rata jarak antara nilai
X pada suatu percobaan dengan nilai tengah/nilai pusat/rata-rata X.
Dengan demikian,
s2 = å(X - m) p(X) =
å(X2 - 2mX + m2) p(X)
=
åX2 p(X) + m2 åp(X) - 2måX p(X)
=
åX2 p(X) + m2(1) – 2mm
=
åX2 p(X) + m2 – 2m2
=
åX2 p(X) – m2
=
E(X2) – m2
=
var(X)
Teorema 2.1
Jika X merupakan variabel acak, kemudian “a” dan “b” adalah konstanta, maka
E(a + bX) = a + bE(X)
dan
Var(a + bX) = b2 var(X)
Pembuktian,
E(a + bX) =
å(a + bX) p(X) ⇒Definisi nilai harapan
=
aåp(X) + åbX p(X)
=
a + båX p(X)
=
a + bE(X), atau a + bm
Dengan demikian,
Var(a + bX) = E{[a + bX – E(a + bX)]2} ⇒ Definisi varians
Sebelumnya diketahui bahwa,
E(a + bX) = a + bE(X) = a + bm
Karena itu,
Var(a + bX) = E[a + bX – a – bm)2]
=
E[( bX - bm)2]
=
E[b2(X - m)2]
=
b2 E[(X - m)2]
=
b2 var(X)
Latihan 2.5
Diketahui E(X) = 3 dan var(X) = 7
Jika Y = 5X – 4, temukan E(Y) dan var(Y)
Nilai harapan matematis untuk Y, E(Y), adalah
E(5X – 4) =
å(5X – 4) p(X)
=
-4 åp(X) + 5åX p(X)
=
-4 + 5E(X), atau
=
-4 + 5m, atau
=
-4 + 5(3)
=
11
Varians dari Y adalah
Var(5X – 4) = E{[5X – 4 – E(5X – 4)]2}
=
E{[5X – 4 – (-4 + 5m)]2}
=
E{[5X – 4 + 4 - 5m]2}
=
E{[5X - 5m]2}
=
E[52 (X - m)2]
=
25 E[(X - m)2]
=
25 (7)
=
175
Teorema 2.2
Jika X dan Y adalah 2 variabel random, dan jika a
dan b adalah konstanta, maka
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
Pembuktian,
Covarians dan Korelasi
Cov(X, Y) =
E{[X – E(X)] [Y – E(Y)]}
Fungsinya mengukur kekuatan dan arah
hubungan linear antara X dan Y.
=
E{[XY – XE(Y) – YE(X) + E(X)E(Y)}
=
E(XY) – E(X)E(Y) – E(Y)E(X) + E(X)E(Y)
=
E(XY) – E(X)E(Y)
